Это число приблизительно равно 2,71828. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». На самом деле число Эйлера или число e не ограничивается этими пятью знаками после запятой.

Данное число представимо в виде бесконечной дроби, рекурсивной функции, ряда и предела.

Давайте уже разберем что же это за число.

Когда мы берем за основание число 1+1/n, близкое к единице, например 1,00001, то для небольших чисел получаются огромные логарифмы, например число 3 имеет логарифм 109861. Чтобы этот логарифм был величиной того же порядка, что и число 3, его следует уменьшить в 100000 раз. Тогда он имел бы величину 1,09861. Число 3 будет иметь логарифм 1,09861, если за основание взять не 1+1/n равное 1,00001, а (1+1/n)^n равное 1,00001^100000. Если мы найдем величину 1,00001^100000, то с точностью до восьмого знака найдем (1+1/n)^n при n равное 100000, будет равно 2,71826763. Обратите внимание это число очень близко к числу e.

Таким образом чем больше взять число n, тем меньше число формулы (1+1/n)^n будет отличаться от числа e. Иначе говоря, число e есть предел, к которому стремится (1+1/n)^n, при неограниченном возрастании числа n.

Логарифмы взятые по основанию e, называются натуральными логарифмами. Часто их называют неперовыми…

Число впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Непера по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию , так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом, хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется , но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс дал численное приближение десятичного логарифма , но само число в его работе не упоминается. Кажется смешным утверждение, что он использовал букву из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая в дальнейшем, но только в 1748 г. в Introductio in Analysin infinitorum он дал полное обоснование всем идеям, связанным с e.