взять хеш мап, да положить туда пару - индекс когда символ встретился первый раз и сколько он раз встретился. Прошлись по строке и заполнили хеш-мап, потом в хеш-мап нашли элемент с минимальным индексом и количество 1. :)

если хеш-мап использовать не хочется и известно, что строка содержит только латинские символы в нижнем регистре, то можно использовать два 32 битных целых. Вначале идем по строке от начала к концу и выставляем в бит соответствующий номеру символа, если он уже был выставлен, то выставляем в 1 бит во втором числе. Дойдя до конца делаем побитовый xor. Если результат 0, то уникальных символов нет, если нет, то читаем строку от конца к началу и выставляем соответствующий бит в результате xor в ноль. Как только результат превратится в ноль, то был найден первый уникальный символ, а соответсвенно и его индекс. Если словарь символов больше 32, то можно взять для хранения битов несколько целых.

Или вариант второго алгоритма - после xor снова идем по строке с начала и смотрим выставлен ли соответствующий бит в результате xor - если да, то первый уникальный найден символ найден.

Если словарь символов очень большой, то предпочтительнее вариант с хеш-мапой.

Оба варианта имеют линейную сложность.

А можно и еще вариант - использовать хеш-мап и двусвязный список. В хеш-мапе ключ - символ и указатель на элемент списка (аналог его в c#), в списке хранится индекс. При прохождении строки смотрим есть ли элемент в мапе, если нет, то добавляем индекс элемента в конец списка и добавляем значение в мапу. Если уже есть, то удалем элемент из списка (если не был удален) и в мапе обнуляем значение - это будет признак, что элемент встречается больше одного раза. В итоге, если список пуст, то нет уникальных значений, а если нет, то первый элемент в нем - это индекс первого уникального элемента.