Задумывались ли вы, почему «минус на минус даёт плюс»? Давайте посмотрим на мир, где привычная интуиция ломается: там «минус на минус даёт минус», и это не противоречит ни одной аксиоме.

Если мы хотим сохранить коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность, но при этом заставить «– ⋅ – = –», то быстро выясняется: так не бывает, если минус — это отрицание. Но проблема исчезает, если признать простое: «–» и «+» — это одно и то же. Тогда никакой алгебры не нарушается. Правда, смысл знаков исчезает, но это именно то, что нам нужно.

Дальше возникает новая неприятность. В такой системе 1 + 1 = 0, поэтому построить числа через повторение единицы невозможно. Решение простое: постулировать существование 2 как самостоятельного элемента, не получаемого из 0 и 1.

Как складывать такие числа? Ищем операцию, которая сама себе обратная. Самый очевидный кандидат — побитовый XOR. Но у XOR нет подходящего умножения, которое сохраняло бы дистрибутивность. Значит, придётся определить умножение самостоятельно: записываем числа в двоичном виде и выполняем умножение в столбик, но все сложения заменяем на XOR. Это и будет нашим новым умножением.

Получается странная, но полностью согласованная структура. И главное — её свойства можно проверить формально. Я прогнал всю конструкцию через Coq и подтвердил: структура действительно удовлетворяет законам евклидова кольца.

Теперь можно экспериментировать. Например, последовательность степеней тройки выглядит так: 1, 3, 5, 15, 17, 51… И да — 5 здесь «попадает» как степень. Неожиданно? Именно поэтому такие альтернативные арифметики интересны: интуиция ломается сразу.