Парадокс 99%: задача по терверу, на которой многие сыплются
В последнем опросе в победили аналитические кейсы. Но неделю начну я не с них, а с задачки на теорию вероятности, которую довольно часто можно найти в разных книжках.
Иногда ее можно найти и на собесах.
Условие: У вас есть медицинский тест с точностью 99%.
Это значит:
- Если человек болен, тест покажет болезнь в 99 случаях из 100
- Если человек здоров, тест покажет здоровье в 99 случаях из 100
Заболевание редкое - болеет 1 человек из 10,000.
Вопрос: Вы сдали тест, он показал положительный результат (вы больны). Какова вероятность, что вы действительно больны?
Вероятно вы бы ответили: "99%! Ведь тест точен на 99%". Однако правильный ответ: меньше 1%. Как так?
Давайте посчитаем на выборке в 1 млн человек.
Болеют: 1 из 10,000 -> это 100 человек из миллиона Здоровы: 999,900 человек
Из 100 больных:
- 100 * 99% = 99 получат правильный диагноз "болен"
- 100 * 1% = 1 получит ложный диагноз "здоров"
Из 999,900 здоровых:
- 99% * 999,900 = 989,901 получат правильный диагноз "здоров"
- 1% * 999,900 9,999 получат ложный диагноз "болен" Вероятность что вы больны при положительном тесте: 99 / 10,098 = 0.0098 = 0.98%
0.98%!!!😲
Эту задачу можно решить и влоб, если вы знаете формулу условной вероятности.
Согласно теореме Байеса, вероятность того, что вы больны при положительном результате теста P(Б|П), рассчитывается как:
P(Б|П) = P(П|Б) * P(Б) / (P(П|Б) * P(Б) + P(П|З) * P(З))
ИЛИ
P(Б|П) = P(П|Б) * P(Б) / P(П), где
- P(П|Б) - Вероятность получить положительный тест, если вы больны (99%) - P(Б) - Вероятность того, что вы больны (1/10,000) *- P(З) - Вероятность того, что вы больны (9,999/10,000)
- P(П|З) - Вероятность получить положительный тест, если вы здоровы (1%)* - P(П) - Полная вероятность положительного теста Итого: P(Б|П) = (99% * 1/10,000) / (99% * 1/10,000 + 1% * 9,999/10,000) = 0,98%
Как видите, редкость самого события сводит на нет даже 99% точности теста.
Верьте цифрам, а не интуиции, и не попадайтесь в эту ловушку на собеседованиях!
