Остаться с носом

Вообще речь здесь про другой нос. «Носом» в старину называли взятки и подношения.

На Руси, чтобы решить вопрос в каком-нибудь учреждении, нужно было "подмазаться". Просители приносили в качестве "носа" разные подарки, и если они нравились, вопрос решали в их пользу. А если нет — человек оставался с носом, и уходил ни с чем.