Душная заметка на полях. Теория хаоса.

Теорию хаоса обычно объясняют бабочкой, которая машет крыльями в Бразилии и устраивает торнадо в Техасе. Но у нее есть следствие поинтереснее прогноза погоды.

Она в целом сильно портит наши представления о причинах.

Любимая формула Теории хаоса :

xₙ₊₁ = r xₙ(1 - xₙ)

Формула полностью детерминирована: берем x, подставляем, получаем следующий x. Никакой случайности. Единственный изменяемый параметр - r.

При r = 2,5 система довольно быстро успокаивается около 0,60.

При r = 3,2 начинает прыгать между двумя значениями: 0,51 → 0,80 → 0,51 → 0,80

При r = 3,5 между четырьмя: 0,38 → 0,83 → 0,50 → 0,87 → 0,38 → 0,83 → 0,50 → 0,87…

Потом появляются 8, 16, 32 значения, а после r = 3,57 начинается хаос.

Мы не добавляли новых правил, не бросали монетку, а просто меняли одно число в одной и той же формуле.

Дальше еще веселее.

При r = 4 начнем один расчет с 0,400000, второй - с 0,400001.

Разница - одна миллионная.

Сначала результаты почти одинаковы. Через десять циклов отличаются примерно на тысячную. Примерно через двадцать - один x оказывается около 0,26, другой - почти у 1.

То есть микроскопическое различие причин породило огромную разницу последствий.

Это и есть знаменитая чувствительность к начальным условиям. На этом месте обычно бабочка крылышком бяк-бяк-бяк и отвлекает от более интересного вопроса.

А откуда мы вообще знаем начальные условия?

Если мы смотрим на произошедшее постфактум, у нас их нет. Есть только то, что сохранилось: документы, показания, измерения, фотографии, логи, воспоминания и последствия.

Причем последствия тоже не обязаны однозначно указывать предшествующие значения.

У той же формулы при r = 4 возьмем два разных начальных состояния:

Первый расчет: x₀ = 0,2 → x₁ = 0,64 → x₂ = 0,9216 → x₃ = 0,2890 → x₄ = 0,8219…

Второй расчет: x₀ = 0,8 → x₁ = 0,64 → x₂ = 0,9216 → x₃ = 0,2890 → x₄ = 0,8219…

Два разных значения x₀ дали одно и то же x₁. С этого момента две разные истории превратились в одну.

Если мы начали наблюдать систему с x₁ = 0,64, то можем точно знать все, что произойдет после, - и все равно никогда не узнаем, было перед ним 0,2 или 0,8.

Настоящее сохранило последствия прошлого, но потеряло информацию о том, каким именно было это прошлое.

Мы привыкли спасаться правилом «после - не значит вследствие». Увидеть два последовательных события недостаточно, чтобы объявить первое причиной второго. Поэтому надо собрать больше данных, найти промежуточные события, исключить альтернативы.

Все правильно.

Но в достаточно сложной системе количество возможных причин, взаимодействий и микроскопических различий растет быстрее наших знаний о них. Мы добавляем факты и отбрасываем объяснения, но вовсе не факт, что дойдем до единственного правильного.

У произошедшего была причина, возможно простая и совершенно определенная.

Но не факт, что мы можем ее установить, ведь часть информации система могла просто потерять.

И тогда возникает вопрос, который я уже задавал здесь:

Как вообще узнать, что произошло на самом деле? #всякиетеории

В этом посте были ссылки, но мы их удалили по правилам Сетки